[Crimson boy can you solve it?] [1] 简易琴生不等式两则

简易琴生不等式两则,能使你在繁重的中考学习压力下锻炼思维,获得成功的快感!!!

1.x,y,z\in \mathbb{R}^+,xyz=1,证明:
\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac{3}{4}
2.\alpha>\beta>0.a_1,a_2,...a_n\in\mathbb{R}^+,证明:
(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+...+a_n^\alpha}{n})^{\frac{1}{\alpha}}\geq (\frac{a_1^\beta+a_2^\beta+...+a_n^\beta}{n})^{\frac{1}{\beta}}

琴生不等式:若一函数f(x)在[a,b]上f''(x)\geq0,则\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}?{n}\geq f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}),其中x_1,x_2,...,x_n\in[a,b],取等条件x_1=x_2=...=x_n.若f''(x)\leq0,则上述不等式不等号反向.

题解在此图下

1
首先同分,将分母乘到另一边,得x^3(1+x)+y^3(1+y)+z^3(1+z)\geq\frac{3}{4}(1+x)(1+y)(1+z)
为了方便书写,我们令\frac{x+y+z}{3}=k,因为xyz=1,所以k\geq1
观察到左边能使用琴生不等式,令f(t)=t^3(1+t),这显然是上一个下凸函数,于是就有3k^3(1+k)\geq\frac{3}{4}(1+x)(1+y)(1+z)
左边是一个很怪的乘积,似乎只能用均值不等式缩放
有的朋友就要问了:均值有两种缩放方式,一是(1+x)(1+y)(1+z)\leq(1+k)^3,另一个是(1+x)(1+y)(1+z)\leq\frac{(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3}{3},选哪种好呢?
其实由琴生不等式易得第一个缩放结果比第二个小,而且此题中恰好便于化简,于是选第一种
原不等式变为k^3(1+k)\geq\frac{3}{4}(1+k)^3
4k^3\geq(1+k)^2
而在k\geq1时,上式显然成立
QED
2
由于左右两边是同类型的式子,故很难缩放为两种形式,又因条件为\alpha>\beta,所以不难想到令F(x)=(\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n})^{\frac{1}{x}},证明F'(x)\geq0
F(x)为幂指函数,不好求,于是我们把它转化到指数上来,得到f(x)=\frac{ln(\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n})}{x}
f'(x)=\frac{x\frac{\frac{a_1^xlna_1+...+a_n^xlna_n}{n}}{\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n}}-ln(\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n})}{x^2}
于是就变为证明x\frac{\frac{a_1^xlna_1+...+a_n^xlna_n}{n}}{\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n}}-ln(\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n})\geq0
现将第一项中的x移到分子的ln内,再两边同乘第一项分母,就变为\frac{a_1^xlna_1^x+...+a_n^xlna_n^x}{n}\geq\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n}ln(\frac{a_1^x+...+a_n^x}{n})
设f(t)=tlnt,易得是下凸函数,代入上式即得证
QED