解析之美--曲线系

注意:理解曲线系最重要的要点是将某方程F(x,y)=0中的多项式F(x,y)当做关于一点坐标的函数.当一点(m,n)在F(x,y)=0的图像上时,便满足F(m,n)=0

1.先从一道不能算曲线系精髓的直线系题目说起

如图AD平分∠BAC,AD上任取一点E,使得BE交边CD于F,CE交边BD于G
求证AD平分∠GAE

这似乎是一道较难的平几题,但在使用解析的情况下,解答却出乎意料的简单
首先设点 A(0,0),B(k,kb),C(c,kc),D(0,d),E(0,e)A(0,0),B(k,-kb),C(c,kc),D(0,d),E(0,e)
此时所有点的位置均符合条件
联立BD得 BD:y=(kdb)x+dBD:y=(-k-\frac{d}{b})x+d
因为D在y轴上,所以根本不需要解方程
同理 CD:y=(kdc)x+dCD:y=(k-\frac{d}{c})x+d
BE:y=(keb)x+eBE:y=(-k-\frac{e}{b})x+e
CE:y=(kec)x+eCE:y=(k-\frac{e}{c})x+e
此时你可能会觉得:系数那么复杂,解G,F的坐标不知要解到什么时候!
不过这题的结论并不需要具体的坐标,而只需使两点到A的斜率互为相反数即可
于是我们可以设 BD:y=λ1x+dBD:y=\lambda_1 x+d
CD:y=λ2x+dCD:y=\lambda_2 x+d
BE:y=λ3x+eBE:y=\lambda_3 x+e
CE:y=λ4x+eCE:y=\lambda_4 x+e
G的坐标满足 $\lbrace^{y=\lambda_1 x+d}{y=\lambda_4 x+e}\lbrace^{x=\frac{d-e}{\lambda_4 -\lambda_1}}{y=\frac{\lambda_4d -\lambda_1e}{\lambda_4 -\lambda_1}}其中y的坐标只需将x系数都化为其中y的坐标只需将x系数都化为\lambda_1 \lambda_4轻松解得轻松解得\frac{y}{x}=\frac{\lambda_4d -\lambda_1e}{d-e}同理F的坐标满足同理F的坐标满足\frac{y}{x}=\frac{\lambda_3d -\lambda_2e}{d-e}根据条件,只需使根据条件,只需使\lambda_4d -\lambda_1e=-(\lambda_3d -\lambda_2e)$ 即可
两边一移项,立即得出结论
QED
2.关于三个两两相交的圆的经典结论

已知3个圆两两相交,证明所连的三条弦交于一点,或两两平行
在做这道题之前,首先要介绍一下两圆的根轴,在两圆相交时便是交点连成的弦
设三圆的方程为 Ci=x2+Dix+y2+Eiy+Fi=0(i=1,2,3)C_i=x^2+D_ix+y^2+E_iy+F_i=0(i=1,2,3)
首先考虑交点为A,B的两个圆,设它们是C1,C2C_1,C_2
A点同时满足 C1=0,C2=0C_1=0,C_2=0 ,所以它满足 C1C2=0C_1-C_2=0 ,即 (D1D2)xA+(E1E2)yA+(F1F2)=0(D_1-D_2)x_A+(E_1-E_2)y_A+(F_1-F_2)=0
所以A在直线 (D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0 上,同理,B也在这条直线上
这条直线就称为两圆的根轴
于是我们得到三条直线
(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0①
(D2D3)x+(E2E3)y+(F2F3)=0(D_2-D_3)x+(E_2-E_3)y+(F_2-F_3)=0②
(D1D3)x+(E1E3)y+(F1F3)=0(D_1-D_3)x+(E_1-E_3)y+(F_1-F_3)=0③
联立 ①②,①③,②③①②,①③,②③ 为三个交点满足的方程组
不难看出, +=①+②=③
于是其实三方程组均为同一方程组!
①②①② 的方程组无解,则三个方程组均无解
①②①② 的方程组解为 {y=y0x=x0\lbrace^{x=x_0}_{y=y_0} ,则三个方程组均为这个解
所以三弦交于一点或两两平行
QED
3.蝴蝶定理
蝴蝶定理是平几中著名的定理,而有了曲线系的帮助,我们大大拓宽条件,可以证明两弦为二次曲线的蝴蝶定理

平几中只能证明AC,BD为直线的情况
已知有一圆,任作一条弦l,作此弦中点O,过O作直线AD,BC交圆于A,B,C,D.有一过A,B,C,D的二次曲线交l于E,F.求证EO=FO
其实通过仿射变换不难发现将圆换为椭圆结论依然成立,在此只证圆的情况
首先建立合适的平面直角坐标系,将圆心放在y轴上,于是x轴便可作为弦l,原点作为弦中点O
设圆方程 C=x2+(ya)2r2=0C=x^2+(y-a)^2-r^2=0
两直线为 L1=yk1x=0,L2=yk2x=0L_1=y-k_1x=0,L_2=y-k_2x=0
L1=0,L2=0L_1=0,L_2=0C=0C=0 的四个交点生成的二次曲线便为 C+λL1L2=x2+(ya)2r2+λ(yk1x)(yk2x)=0C+\lambda L_1L_2=x^2+(y-a)^2-r^2+\lambda (y-k_1x)(y-k_2x)=0
那么为什么能这样"生成"二次曲线呢?
先考察 L1L_1CC 的一个交点A
A坐标同时满足 L1=0,C=0L_1=0,C=0 ,所以坐标满足 C+λL1L2=0+λ0L2=0C+\lambda L_1L_2=0+\lambda 0 L_2=0
同理B,C,D均在这生成的二次曲线上
要求E,F的坐标,便要将 y=0y=0 带入 x2+(ya)2r2+λ(yk1x)(yk2x)=0x^2+(y-a)^2-r^2+\lambda (y-k_1x)(y-k_2x)=0
不难发现带完后的方程未知数只有 x2x^2
所以此方程两根互为相反数
所以EO=FO
QED
那么由这道题的题解,我们发现了曲线系中一个重要的思想--由直线生成二次曲线

公式:由二次曲线 C=0C=0 与直线 L1=0,L2=0L_1=0,L_2=0 的四交点生成的二次曲线为 C+λL1L2=0C+\lambda L_1L_2=0
同样的,由直线 L1=0,L2=0,L3=0,L4=0L_1=0,L_2=0,L_3=0,L_4=0 的四个交点生成的二次曲线曲线为 L1L3+λL2L4=0L_1L_3+\lambda L_2L_4=0
由两条切线 L1=0,L2=0L_1=0,L_2=0 与两个切点的连线 L3=0L_3=0 生成的二次曲线为 L1L2+λL32=0L_1L_2+\lambda L_3^2=0 (这里可以看成是一组对边重合为 L3L_3 的四边形)
由直线 L1=0,L2=0,L3=0L_1=0,L_2=0,L_3=0 的三个交点生成的二次曲线为 L1L2+λL2L3+μL3L1=0L_1L_2+\lambda L_2L_3+\mu L_3L_1=0

其中四边形的生成较为常用,其示意图如下所示


其中相乘的直线方程为对边或为中间交叉两线
4.帕斯卡定理

若一二次曲线的内接六边形对边两两不平行,证明此内接六边形三组对边交点三点共线

首先设从AB开始顺时针排序的六条直线分别为 Li=0(i=1,2,3,4,5,6)L_i=0(i=1,2,3,4,5,6)
此定理是圆的内接六边形,而生成二次曲线系一般通过四边形生成,于是联想到连接AD,设AD直线方程为 m=0m=0
由此可已通过分割成的两个六边形生成二次曲线 C=λ1L1L3+μ1L2m=λ2L4L6+μ2L5mC=\lambda_1L_1L_3+\mu_1L_2m①=\lambda_2L_4L_6+\mu_2L_5m② (因为生成的是同一条二次曲线,所以直接用等号连接①②两式)
因为m是设出来的直线,而题目结论中并未涉及m,所以要想法把m消掉
通过对比系数发现,可以通过 μ2L5μ1L2\mu_2L_5①-\mu_1L_2② 消去
(μ2L5μ1L2)C=λ1μ2L1L3L5λ2μ1L2L4L6=0(\mu_2L_5-\mu_1L_2)C=\lambda_1\mu_2L_1L_3L_5-\lambda_2\mu_1L_2L_4L_6=0
我们发现,上式将编号分别为奇偶的边分成了两组,也正好是对边的分组.考虑对边 L1,L4L_1,L_4 的交点I,将其坐标带入上式发现满足右边等于0
于是左边也应等于0,但I不再C上,所以只能是I的坐标满足 μ2L5μ1L2=0\mu_2L_5-\mu_1L_2=0 而这是一条直线
同理,G,H也在这条直线上
所以三点共线
QED
最后留两道练习供大家检测自我
1.蝴蝶定理的直线情况
细心的朋友可能会发现,例题中蝴蝶定理的证明并不能证其直线情况,因为没有二次曲线是两条直线.所以请用曲线系练习证明蝴蝶定理的直线情况

即AB为一二次曲线的弦,O为AB中点,过O任作两条弦DF,CE,连接CF,DE与AB交于G,H.证明O为GH中点
Geogebra
2.直尺作切线

P为二次曲线外一点(规定不含焦点的区域为外部),过P做二次曲线两条切线,切点为M,N.过P的两条直线交二次曲线于A,B,C,D.连接AC,BD交于O.证明O在MN上
只要证明了这题,就可以通过做两个像O一样的点,便可只用直尺作出二次曲线切线

提示:设二次曲线方程为 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 ,P点坐标为 (x0,y0)(x_0,y_0) ,则MN为 Ax0x+By0y+Cx0y+y0x2+Dx+x02+Ey+y02+F=0Ax_0x+By_0y+C\frac{x_0y+y_0x}{2}+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+F=0 P称为极点,MN称为极线

Geogebra
最后,以华罗庚的名言结束此文

数缺形时少直觉,
形少数时难入微。
数形结合百般好,
割裂分家万事非。
------华罗庚

版权声明:
作者:HDD
链接:https://blog.hellholestudios.top/archives/425
来源:Hell Hole Studios Blog
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THE END
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