crimboiii[17] 拉格朗日茶香

题目背景

完整题解来自ox帅气lecturer, 我只能证明F<\mathbb C的情况 ;( ;( ;()

题面

V是域F上的一个线性空间, \dim V=n, 且有T\in L(V). 现取\lambda_1,...,\lambda_n\in F两两不等, 且任意\lambda_i都不是T的特征值. 试证明存在\alpha_1,...,\alpha_n\in F使得

\sum_{k=1}^n \alpha_k(T-\lambda_kI)^{-1}=I

先想再看提示哦

提示

先试着在T特征值都不同时构造, 然后用拉格朗日插项与一点小技巧证明构造出的\alpha_k无论如何都是满足等式的.

愿你无需看标答

标答

给了提示疑似太简单了.
算了再给一个提示: 逆不好处理, 就证明

\sum_{k=1}^n \alpha_k\prod_{i\ne k}(T-\lambda_i I)=\prod(T-\lambda_k I)