物竞速成[2] 微积分基础-2

本期导语

在物理竞赛中, 我们遇到的通常是向量而非标量. 因此, 本文将对向量微积分作出简要的介绍. 同时, 多元函数除了用于刻画某个变化量, 还可以用于刻画某个场. 所以, 本文将介绍几个用于场论的算子. 再度声明, 作为速成教程, 本系列将不会作出任何数学证明, 若有兴趣请自行查阅相关资料.

正文

在物理中, 我们通常讨论的是三维空间, 于是下文不作特别说明均指三维向量.

习惯上, 除了常用的坐标表示$\boldsymbol{a}=(P,Q,R)$外, 我们还常用$\boldsymbol{a}=P\boldsymbol{i}+Q\boldsymbol{j}+R\boldsymbol{k}$来表示一个向量$\boldsymbol{a}$.
其中$\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{k}$为$\boldsymbol{a}$所在的向量空间的一组基, 不作特别说明默认是正交基$^{[1]}$.
这样的记法在日后进行坐标轴变换时将会起到作用.

首先考察单独一个向量$\boldsymbol{a}$对其中一个自变量$x$的偏微分(对其余自变量同理).
由于在不进行坐标轴变换的情况下, $\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{k}$均为常量, 于是
$\frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial Q}{\partial x}\boldsymbol{j}+\frac{\partial R}{\partial x}\boldsymbol{k}$.
同理, 容易写出$\boldsymbol{a}$的全微分$\mathrm{d}\boldsymbol{a}=\mathrm{d}P\boldsymbol{i}+\mathrm{d}Q\boldsymbol{j}+\mathrm{d}R\boldsymbol{k}$.

对两个向量内积结果的微分与对两个数的积的微分相似, 是$\mathrm{d}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}$.

若考虑常用的三维向量, 还有另一种极其重要的运算: 向量叉积. 介于高中课内并没有对向量叉积进行教学, 这里对其进行简要介绍.
首先给出叉积的定义式: 令$\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{i}+a_2\boldsymbol{j}+a_3\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{b}=b_1\boldsymbol{i}+b_2\boldsymbol{j}+b_3\boldsymbol{k}$, 则$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_2b_3-a_3b_2)\boldsymbol{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\boldsymbol{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\boldsymbol{k}$. 注意, 叉积一般限定参与运算的两个向量都是三维向量, 而其他维数的向量没有此种意义上的叉积.
事实上, 上式可以简记为$\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_1&b_3 \end{vmatrix}$.$^{[2]}$
向量叉积带表的几何意义是一个模长为$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>$, 与$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$构成的平面垂直的向量, 具体方向由右手定则确定, 如下图.

伸出右手, 大拇指指向$\boldsymbol{a}$, 食指指向$\boldsymbol{b}$, 中指立起的方向即是$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$的方向.
当然, 当$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$不构成平面, 即它们共线时, $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$, 没有讨论方向的意义.
由定义容易推出向量叉积所满足的一些性质.
首先是反交换律, 即$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}$;
其次是分配律, 左分配律即$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$, 右分配律即$\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{b}$;
之后是雅各比恒等式, 即$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\times\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$. 事实上高中课内向量点积所谓的"奔驰定理"就是$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$共面的特例.
最后是用于简化计算的拉格朗日公式, 即$\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$
向量叉积的微分性质同样易得, 是$\mathrm{d}(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\times\mathrm{d}\boldsymbol{b}+\mathrm{d}\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$, 注意交换律不成立!

下面是本文的第二部分, 某些场论算子的介绍. 正如我们习惯于用指出空间各点处的电场强度来描述电场, 我们用一个多元函数(可以是向量或标量)来描述场, 函数的自变量通常是三个空间坐标$x$, $y$, $z$与一个时间坐标$t$, 即用来描述场的多元函数通常是$\boldsymbol{A}(x,y,z,t)$(或$A(x,y,z,t)$)的形式.
但时间作为一个特殊的尺度, 往往我们只关心$\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}$, 而在做其他微积分操作时(如求场的散度时)将场固定到某一时刻, 即将时间看做常量.
于是以下不作特别说明均认为场为三元函数$\boldsymbol{A}(x,y,z)$(或$A(x,y,z)$), 其中$t$可能以"常量"的形式存在.

这里举两个场的例子, 一个向量场, 一个标量场.

静止在$(0,0,0)$处带电量为$Q$的点电荷的电场为$\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^3}\boldsymbol{r}$, 其中$\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 日后不作特别说明均有$\boldsymbol{r}=(x_1,\cdots,x_n)$, $r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$.

静止在$(0,0,0)$处带电量为$Q$的点电荷的电势场为$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$.

我们先来考虑标量场中的场论算子: 梯度.
对一个标量场$A(x,y,z)$, 我们定义它的梯度$\nabla A$(或$\mathrm{grad}A$)为$\frac{\partial A}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial A}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial A}{\partial z}\boldsymbol{k}$;
梯度直观的几何意义即为, 沿着梯度向量的方向, 函数变化得最快(这也正是AI中有梯度下降法的理论基础). 梯度还能表示等高线的法向量, 在拉格朗日乘子法的几何直观中将会看到此点的应用.

在上面两个场的例子中, 可以看出$\boldsymbol{E}=-\nabla\varphi$. 事实上, 一个保守力场$\boldsymbol{F}$所对应的势能场$U$的定义正是$\boldsymbol{F}=-\nabla U$.

将$A$看做给向量$\nabla$乘上的数, 我们可以定义nabla算子$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}$.

现在我们来考虑向量场. 向量场也存在梯度, 但它的梯度涉及张量分析, 且高中物竞中基本不会用到, 故此处不作讨论.
令向量场$\boldsymbol{A}=P\boldsymbol{i}+Q\boldsymbol{j}+R\boldsymbol{k}$;

向量场的一种算子是散度, 散度$\nabla\cdot\boldsymbol{A}$(或$\mathrm{div}\boldsymbol{A}$)定义为$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$;
可以看出, 若使用nabla算子, 我们无需记忆公式, 因为散度正是$\nabla$与$\boldsymbol{A}$的内积;
点$(x_0,y_0,z_0)$处的散度的几何意义是围绕这一点的通量的体密度, 即$\nabla\cdot\boldsymbol{A}=\lim\limits_{V\rightarrow\lbrace(x_0,y_0,z_0)\rbrace}\frac{\oiint_{\partial V}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}{|V|}$.$^{[3]}$
散度处处为$0$的场称为无源场. 可以证明, 一个场为无源场的充分必要条件是它能被表示为某个场的旋度场.

这里给出一个散度计算的具体例子:
除原点外, 静止在$(0,0,0)$处带电量为$Q$的点电荷的电场$\boldsymbol{E}$的散度为:

$\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{E}&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\partial(\frac{x}{r^3})}{\partial x}+\frac{\partial(\frac{y}{r^3})}{\partial y}+\frac{\partial(\frac{z}{r^3})}{\partial z}\right)\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r^3}-3\frac{x}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{1}{r^3}-3\frac{y}{r^4}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{1}{r^3}-3\frac{z}{r^4}\frac{\partial r}{\partial z}\right)\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{3}{r^3}-3\frac{x^2+y^2+z^2}{r^5}\right)\\ &=0 \end{aligned}$

不过, 这并不代表此电场为无源场, 因为它的源正在我们没考虑的原点. 事实上, 此场完整的散度应由高斯定理计算得出$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\delta(x,y,z)$. 其中$\delta(x_1,\cdots,x_n)$为狄拉克函数, 满足$\int_{\mathbb{R}^n}\delta(x_1,\cdots,x_n)\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_n=1$, 且当$(x_1,\cdots,x_n)\neq(0,\cdots,0)$时, $\delta(x_1,\cdots,x_n)=0$.

向量场的另一种算子是旋度, 旋度$\nabla\times\boldsymbol{A}$(或$\mathrm{rot}\boldsymbol{A}$)定义为$(R_y-Q_z)\boldsymbol{i}+(P_z-R_x)\boldsymbol{j}+(Q_x-P_y)\boldsymbol{k}$; 写太多$\partial$写累了, 用下简写.
同样, 若是使用nabla算子, 公式就变得非常容易记忆.
正如梯度向量指向的是函数变化最快的方向, 点$(x_0,y_0,z_0)$处的旋度向量指向的是使得围绕这一点的环量面密度最大的平面的法向, 而其余任意平面环量面密度为旋度向量与这一面单位法向量的点积, 即$(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}=\lim\limits_{S\rightarrow\lbrace(x_0,y_0,z_0)\rbrace}\frac{\oint_{\partial S}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}{|S|}$.$^{[4]}$

旋度处处为$0$的场称为无旋场. 若此场为力场, 则称其为保守力场, 它表示的力称为保守力. 可以证明, 一个场为无旋场的充分必要条件是它能被表示为某个场的梯度场.

这里给出一个旋度计算的具体例子:
过原点指向$(0,0,1)$的电流为$I$的无限长直导线产生的磁场,除$x$轴处的旋度为:

$\begin{aligned}\nabla\times\boldsymbol{B}&=\nabla\times\left(\frac{\mu_0I}{2\pi(y^2+z^2)}(-z\boldsymbol{j}+y\boldsymbol{k})\right)\\ &=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\left(\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2}-\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2}\right)\boldsymbol{i}+(0-0)\boldsymbol{j}+(0-0)\boldsymbol{k}\right)\\ &=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

然而, 这并不代表此磁场为无旋场, 因为我们没考虑的$x$轴上有旋度. 事实上, 此场完整的旋度应由斯托克斯定理计算得出$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0I\delta(y,z)$.

最后一种算子是拉普拉斯算子, 若用nabla算子来表示即为$\nabla^2$. 相信通过上面两个nabla算子的应用, 不难想到拉普拉斯算子的定义应为$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$.
作为一个标量形式的算子, 它既可以作用于标量场, 也可以作用于向量场, 作用方式就是直接将它乘到对应的函数上.

对标量场$A$来说, 拉普拉斯算子的意义是它的梯度场的散度, 即$\nabla^2A=\nabla\cdot(\nabla A)$. 而对向量场, 拉普拉斯算子的意义为: $\nabla^2\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})$.

在数学基础的介绍中我们考虑的都是三维向量场的场论算子, 若日后具体题目中涉及其余维度的场论算子, 我们会补充定义.

小结

本期首先讨论了向量的微分性质, 并介绍了向量叉积这一重要运算.
其次, 引入了场的描述方法, 并介绍了常用的场论算子以及它们的几何意义.

练习

2-1 试求平面电磁波电场$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_0e^{i(\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)}$的旋度, 其中$\boldsymbol{E}_0$, $\boldsymbol{K}$为常向量, $\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$.

2-2 (1) 试证明$\nabla\times(\nabla A)=\boldsymbol{0}$, 即任意梯度场都是无旋场.
(2) 试证明$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0$, 即任意旋度场都是无源场.

2-3 在本问题中, 我们将探讨柱面坐标系. 一个点在柱面坐标系中同样由三个量$\rho$, $\varphi$, $z$表示, 满足$\left\lbrace \begin{aligned}x&=\rho\cos\varphi \\ y&=\rho\sin\varphi\\ z&=z\end{aligned}\right .$.
(1) 定义$(x_1,\cdots,x_n)$经坐标变换成为$(x_1',\cdots,x_n')$后, $x_i'$对应的基向量

$\boldsymbol{e}_{x_i'}=\frac{\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial x_i'}}{\left|\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial x_i'}\right|}$,

其中$\boldsymbol{r}=(x_1,\cdots,x_n)$.

试求本题中$\boldsymbol{e}_\rho$,

$\boldsymbol{e}_\varphi$,

$\boldsymbol{e}_z$.

(2) 试用$\boldsymbol{e}_\rho$,

$\boldsymbol{e}_\varphi$,

$\boldsymbol{e}_z$,
$\rho$, $\varphi$, $z$与$A$表示$\nabla A$.$^{[5]}$

上期答案

1-1 首先计算一阶偏导:
$y_{x_1}=x_2x_1^{x_2-1}$;
$y_{x_2}=x_1^{x_2}\ln x_1$.
然后计算二阶偏导:
$y_{x_1x_1}=x_2(x_2-1)x_1^{x_2-2}$;
$y_{x_1x_2}=x_2x_1^{x_2-1}\ln x_1+x_1^{x_2-1}$;
$y_{x_2x_2}=x_1^{x_2}\ln^2x_1$.
于是$\mathrm{d}^2y=x_2(x_2-1)x_1^{x_2-2}\mathrm{d}^2x_1+2(x_2x_1^{x_2-1}\ln x_1+x_1^{x_2-1})\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2+x_1^{x_2}\ln^2x_1\mathrm{d}^2x_2$

注释

[1] 通量将在本系列[4]介绍.
[2] 环量将在本系列[4]介绍.
[3] 之所以这样排版是因为本博客搞笑latex编译器会如下编译:
$\boldsymbol{e}\rho$,$\boldsymbol{e}\varphi$