[Crimson boy can you solve it?] ep3.14 Pi day special!!!!

$[问题]证明\pi是无理数$
math latex中文字为解答,斜体文字为注释
[解答]首先还是老套路,设\pi=\frac{a}{b}
令f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}①
之所以要写成这种分母为n!的形式,是为了方便后面用麦克劳林展开比较系数
所以f(x)=\frac{b^nx^n(\pi-x)^n}{n!}②
由②易得f(x)=f(\pi-x)③
因为f(x)为多项式
所以f(x)=\sum^{2n}_1{\frac{f^{(k)}(0)x^n}{n!}}
这里用了麦克劳林展开,其中f^{(k)}(x)指f(x)的k阶导,其证明找规律易得
与①比较系数得f^{(k)}(0)\in{\mathbb{Z}}
由③得f^{(k)}(\pi)\in{\mathbb{Z}}
令F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)+...+(-1)^nf^{(2n)}(x)
这个F(x)就设得比较精髓了,之所以要错开来设,是因为后面要用到二阶导
F''(x)+F(x)=f(x)
(F'(x)sinx-F(x)cosx)'=F''(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx=f(x)sinx
$\int^{\pi}{0}{f(x)sinxdx}=(F'(x)sinx-F(x)cosx)|^{\pi}{0}=F(\pi)+F(0)\in{\mathbb{Z}}(\ast)又0<f(x)=\frac{b^nx^n(\pi-x)^n}{n!}\le{\frac{b^n({\frac{\pi}{2}})^{2n}}{n!}}=\frac{(\pi a)^n}{n!2^{2n}}所以0<\int^{\pi}{0}{f(x)sinxdx}\le\int^{\pi}{0}{f(x)dx}\le \frac{(\pi a)^n}{n!2^{2n}}\pi\longrightarrow^{n\rightarrow+\infty}0不为整数,与(\ast)矛盾$
这里用了一个趋正无穷时阶乘结束比指数高的结论,可能有点难理解
所以得证!!!!