物竞速成[1] 微积分基础-1

前言

相比于数学竞赛, 物理竞赛可谓是简单得多: 高中生物理竞赛中所涉及的模型一共就那么几个, 相比于组合可谓是九牛一毛; 尽管有些题目的标答需要一定的思维能力, 但好在若是掌握了计算的技巧, 多花一点时间同样能将题目解决. 本系列致力于从现在开始, 到9月中旬将物理竞赛的体系与技巧简要地阐述一遍, 希望能对今年参赛的同学有所帮助. (本文面向中学竞赛, 难免会有不严谨的地方, 若有错误欢迎指出)

本期导语

网络上曾有人调侃过, 全国中学生物理竞赛实际上是全国中学生微积分竞赛. 尽管这种调侃有失偏颇, 但我们不得不承认微积分的计算是中学阶段物理竞赛的大头. 所以, 想要考好物竞, 扎实的微积分的基础是必不可少的.

正文

注意: 本文不作特别说明均将自变量限制在使得函数可微的范围内.

首先我们从熟悉的微分(求导)开始讲起.

设$y$是关于$x$的一元函数(注意此处$x$是任意的变量, 不专指位移), 通常记$y$对$x$的导数为$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$.
其中$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$实际上是一个整体, 在有些教材上记作微分算子$D$.

$y$对$x$的二阶导记作$\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}$, 它是将$\frac{\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}{\mathrm{d} x}$上面的两个$\mathrm{d}$合并, 下面的两个$\mathrm{d}x$合并得来的.
注意, $\mathrm{d}x^n$指的是$(\mathrm{d}x)^n$, 而不是$\mathrm{d}(x^n)$.

相似地, $y$的$n$阶导记作$\frac{\mathrm{d}^ny}{{\mathrm{d}x}^n}$, 也可记作$D^ny$.
当然, 微分算子也可以作为多项式的变量, 如$(D^2+D+1)y=\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+y$.

有时为了简洁, 我们会习惯性地将一阶导写作$\dot{y}$, 将二阶导写作$\ddot{y}$, 以此类推...
注意, 当运用此符号时, 若有多个可能的自变量, 我们通常是在表示对时间$t$求导.

另一面, 我们平时在数学中常写的$y'$通常不会用于表示导数, 而是用于表示另一参考系中所观察到的$y$.
不过, 当求导阶数过高, 不方便写点时, 还是会回归数学中阶数过高的的记法, 即$y^{(n)}$.

上述都是对高中阶段求导的复习与符号的"规范化"(这并不是"官方的"规范, 只是本系列未来均会遵循此套符号). 下面介绍一些物理竞赛中要用到而课内不涉及的微分学知识.

在大多数竞赛题中, 自由的变量通常不止一个. 此刻, 对某些量的刻画便需要多个自变量, 于是多元函数应运而生.
多元函数$y=y(x_1,x_2,\cdots,x_n)$本质上是$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$的映射, 我们可将其理解为是$n$维空间中一个点$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$到一个数$y$的映射.
当然, 同样存在多值函数这种东西, 但它的微积分性质较为复杂, 且不在高中竞赛范围内, 此处不专门介绍, 在之后章节中可能会作为警告而有所提及.

多元函数有着同一元函数不同的微积分法则. 首先是偏导.
$y=y(x_1,\cdots,x_n)$对$x_i$的偏导定义为保持$x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_n$不变时$y$对$x_i$的导数, 写作$\frac{\partial y}{\partial x_i}$.
其计算方法为视其他自变量为常数进行类似一元函数的求导.

例如, 令$y=x_1^{x_2}$.
$\frac{\partial y}{\partial x_1}=x_2x_1^{x_2-1}$;
$\frac{\partial y}{\partial x_2}=x_1^{x_2}\ln x_1$.

偏导数的乘法法则与一元导数相似, 也是$\frac{\partial(yz)}{\partial x_i}=y\frac{\partial z}{\partial x_i}+z\frac{\partial y}{\partial x_i}$;
而偏导的链式法则与一元情况有所不同, 它的形式应为$\frac{\partial y}{\partial t}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t}$.

其次是全微分. 在解题过程中, 我们通常会取某个量的微元, 也就是它的全微分. 为此, 我们需要知道如何用自变量来表示这个微元.
我们定义$y$的全微分$\mathrm{d}y$为$\mathrm{d}y=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$.
回到刚才那个例子, 那个$y$的全微分即是$\mathrm{d}y=x_2x_1^{x_2-1}\mathrm{d}x_1+x_1^{x_2}\ln x_1\mathrm{d}x_2$.

与一元函数一样, 多元函数全微分也能有比$1$更高的阶数.
类似地, $\mathrm{d}^my=\mathrm{d}(\mathrm{d}^{m-1}y)$, 其中须注意当$m>1$时, $\mathrm{d}^mx_i=0$.
而偏导除了存在高阶偏导外, 还存在混合偏导.
即除了有$\frac{\partial^m y}{\partial x_i^m}$, 还可以有如$\frac{\partial \frac{\partial y}{\partial x_i}}{\partial x_j}$之类的导数.
为书写简洁, 我们有时会按从外到内的求导次序将自变量写在函数名下标来表示对应的导数.
例如$y_{x_1x_2x_1}=\frac{\partial \frac{\partial \frac{\partial y}{\partial x_1}}{\partial x_2}}{\partial x_1}$.
可以证明, 若函数在某点连续, 则在该点改变求导次序并不会改变混合导数的值.
此时混合导数可记为$\frac{\partial^m y}{\partial^{j_1}x_1\partial^{j_2}x_2\cdots\partial^{j_n}x_n}$, 或简记为$y^{(j_1,\cdots,j_n)}$, 其中$j_1+\cdots+j_n=m$.
这事实上保证了可微的点上必定连续.

显然, 求高阶全微分的通用算法并不是次次迭代, 而是有结合莱布尼兹求导公式与微分算子多项式的一般公式存在. 但由于高中物理竞赛中极少出现高阶全微分, 我们不会对它的计算作过多讨论.

这里举一个计算较为简单的例子.
令$y=x_1^2x_2^3$.
那么$\frac{\partial^2y}{\partial x_2^2}=6x_1^2x_2$;
$\frac{\partial^2y}{\partial x_1\partial x_2}=6x_1x_2^2$;
$\mathrm{d}^2y=\mathrm{d}(2x_1x_2^3\mathrm{d}x_1+3x_1^2x_2^2\mathrm{d}x_2)=(2x_2^3\mathrm{d}x_1+6x_1x_2^2\mathrm{d}x_2)\mathrm{d}x_1+(6x_1x_2^2\mathrm{d}x_1+6x_1^2x_2\mathrm{d}x_2)\mathrm{d}x_2=2x_2^3\mathrm{d}x_1^2+12x_1x_2^2\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2+6x_1^2x_2\mathrm{d}x_2^2$.

小结

本期首先主要复习了高中导数内容, 进行了符号的统一化;
其次, 本期引入了多元函数的概念, 并对多元函数的偏微分与全微分进行了介绍, 并给出了相应的例子.

练习

1-1 令$y=x_1^{x_2}$, 试求$\mathrm{d}^2y$.