Crimson-boi[7] 创意填空题

题目背景

本题来源于南京外国语学校2022年数学校选最后一道填空.可能是抄来的

题面

平面上有n个点, 其中任意三点均不在同一条直线上, 且任意三点构成的三角形的内角度数都是正整数, 求n的最大值.

先想再看提示哦

提示

直觉告诉我们, 最后的构造很有可能是正n边形, 而正n边形的情况下n最大为180. 又发现此种构造中会出现1^{\circ}的角, 于是想到用抽屉定理证明n的最大性.

愿你无需看标答

标答

如图, 取这n个点的凸包的一条边, 不妨称其为A_1A_2, 于是所有其它点都应在直线A_1A_2的同侧, 我们不妨称其为右侧.

在剩下的点中取如下这个点, 使得它与A_1, A_2所构成的角最大, 不妨称这个点为A_n.

考察三角形A_1A_2A_n, 由于\angle A_1A_2A_n与\angle A_1A_nA_2的度数均为正整数, 于是有\angle A_1A_2A_n\geq 1^\circ, \angle A_1A_nA_2\geq 1^\circ. 所以\angle A_2A_1A_n=180^\circ-\angle A_1A_2A_n-\angle A_1A_nA_2\leq 178^\circ.

此时由\angle A_2A_1A_n的最大性得出A_3,A_4,\dots,A_{n-1}必然都在\angle A_2A_1A_n内部. 假设n>180, 即A_2,A_4,\dots,A_n有至少180个点, 它们相邻的两点与A_1共能构成至少179个角. 这些角中最小的必然小于等于\frac{178}{179}^\circ<1^\circ, 那么这个角不可能是整数, 与题设矛盾!

而n=180时构造正180边形即可, 容易验证其中任意三点构成的三角形的内角度数都是正整数.