注意:理解曲线系最重要的要点是将某方程F(x,y)=0中的多项式F(x,y)当做关于一点坐标的函数.当一点(m,n)在F(x,y)=0的图像上时,便满足F(m,n)=0

1.先从一道不能算曲线系精髓的直线系题目说起

如图AD平分∠BAC,AD上任取一点E,使得BE交边CD于F,CE交边BD于G

求证AD平分∠GAE

这似乎是一道较难的平几题,但在使用解析的情况下,解答却出乎意料的简单

首先设点

此时所有点的位置均符合条件

联立BD得

因为D在y轴上,所以根本不需要解方程

同理

此时你可能会觉得:系数那么复杂,解G,F的坐标不知要解到什么时候!

不过这题的结论并不需要具体的坐标,而只需使两点到A的斜率互为相反数即可

于是我们可以设

G的坐标满足

其中y的坐标只需将x系数都化为 轻松解得

同理F的坐标满足

根据条件,只需使 即可

两边一移项,立即得出结论

QED

2.关于三个两两相交的圆的经典结论

已知3个圆两两相交,证明所连的三条弦交于一点,或两两平行

在做这道题之前,首先要介绍一下两圆的根轴,在两圆相交时便是交点连成的弦

设三圆的方程为

首先考虑交点为A,B的两个圆,设它们是

A点同时满足 ,所以它满足 ,即

所以A在直线 上,同理,B也在这条直线上

这条直线就称为两圆的根轴

于是我们得到三条直线

联立 为三个交点满足的方程组

不难看出,

于是其实三方程组均为同一方程组!

的方程组无解,则三个方程组均无解

的方程组解为 ,则三个方程组均为这个解

所以三弦交于一点或两两平行

QED

3.蝴蝶定理

蝴蝶定理是平几中著名的定理,而有了曲线系的帮助,我们大大拓宽条件,可以证明两弦为二次曲线的蝴蝶定理

平几中只能证明AC,BD为直线的情况

已知有一圆,任作一条弦l,作此弦中点O,过O作直线AD,BC交圆于A,B,C,D.有一过A,B,C,D的二次曲线交l于E,F.求证EO=FO

其实通过仿射变换不难发现将圆换为椭圆结论依然成立,在此只证圆的情况

首先建立合适的平面直角坐标系,将圆心放在y轴上,于是x轴便可作为弦l,原点作为弦中点O

设圆方程

两直线为

的四个交点生成的二次曲线便为

那么为什么能这样"生成"二次曲线呢?

先考察 的一个交点A

A坐标同时满足 ,所以坐标满足

同理B,C,D均在这生成的二次曲线上

要求E,F的坐标,便要将 带入

不难发现带完后的方程未知数只有

所以此方程两根互为相反数

所以EO=FO

QED

那么由这道题的题解,我们发现了曲线系中一个重要的思想--由直线生成二次曲线

公式:由二次曲线 与直线 的四交点生成的二次曲线为

同样的,由直线 的四个交点生成的二次曲线曲线为

由两条切线 与两个切点的连线 生成的二次曲线为 (这里可以看成是一组对边重合为 的四边形)

由直线 的三个交点生成的二次曲线为

其中四边形的生成较为常用,其示意图如下所示

其中相乘的直线方程为对边或为中间交叉两线

4.帕斯卡定理

若一二次曲线的内接六边形对边两两不平行,证明此内接六边形三组对边交点三点共线

首先设从AB开始顺时针排序的六条直线分别为

此定理是圆的内接六边形,而生成二次曲线系一般通过四边形生成,于是联想到连接AD,设AD直线方程为

由此可已通过分割成的两个六边形生成二次曲线 (因为生成的是同一条二次曲线,所以直接用等号连接①②两式)

因为m是设出来的直线,而题目结论中并未涉及m,所以要想法把m消掉

通过对比系数发现,可以通过 消去

我们发现,上式将编号分别为奇偶的边分成了两组,也正好是对边的分组.考虑对边 的交点I,将其坐标带入上式发现满足右边等于0

于是左边也应等于0,但I不再C上,所以只能是I的坐标满足 而这是一条直线

同理,G,H也在这条直线上

所以三点共线

QED

最后留两道练习供大家检测自我

1.蝴蝶定理的直线情况

细心的朋友可能会发现,例题中蝴蝶定理的证明并不能证其直线情况,因为没有二次曲线是两条直线.所以请用曲线系练习证明蝴蝶定理的直线情况

即AB为一二次曲线的弦,O为AB中点,过O任作两条弦DF,CE,连接CF,DE与AB交于G,H.证明O为GH中点

Geogebra

2.直尺作切线

P为二次曲线外一点(规定不含焦点的区域为外部),过P做二次曲线两条切线,切点为M,N.过P的两条直线交二次曲线于A,B,C,D.连接AC,BD交于O.证明O在MN上

只要证明了这题,就可以通过做两个像O一样的点,便可只用直尺作出二次曲线切线

提示:设二次曲线方程为 ,P点坐标为 ,则MN为 P称为极点,MN称为极线

Geogebra

最后,以华罗庚的名言结束此文

数缺形时少直觉,
形少数时难入微。
数形结合百般好,
割裂分家万事非。
------华罗庚