狂暴野蛮人[2] pqr爆解对称三元不等式

文明一思考, 野蛮就发笑

没想到这个系列能出第二期, 并且第二期就是数学, 占到了目前总期数的一半! 不过, 本期只有一个象征性的题目 (毕竟类似的题要多少有多少), 其主要内容还是介绍暴力的手法. 不过这手法真的有用吗? 好像目前竞赛考的都是n元或加了怪异条件的不等式了, 最弱智的也只到轮换不对称.

2 (2022-8-23)

先置知识

若你有过在贴吧中求助有理分式不等式的经历, 你肯定收到过由计算机产生的暴力配方题解--没错, 正如欧几里得几何都能转为多项式方程, 有理分式不等式正可以是如此暴力的东西. 不过, 普通人毕竟不能胜任如此巨大的计算量, 所以本文将介绍针对三元不等式的较为简便的暴算方法: pqr法.

相信若用过暴力通分做三元不等式的读者必定试过将a+b+c, ab+bc+ca, abc作为新的变量以简化要证的命题, 不过最终可能因不清楚这三者间的关系而以失败告终. 本文的目的即希望读者都能愉快得将自己的证明完成, 而不是重现既用了与标答不同的解法又没做完而爆零的悲剧.

(以下\sum(\prod)均指轮换求和(积)) 令\sum a=p, \sum ab=q, abc=r. 首先我们需要搞清楚换元之后p,q,r应满足何种条件才能反推出实的a,b,c.

容易看出, a,b,c为x^3-px^2+qx-r=0的三个根. 为满足a,b,c均为实数, 需要此三次方程的判别式\Delta=-27r^2+(18pq-4p^3)r+(p^2q^2-4q^3)\geq0. 即当其中两元固定时, 第三元满足此不等式就能保证实数a,b,c的存在性. 若还有条件a,b,c\geq0, 则再令p,q,r\geq0即可.

不过上式并不要求记忆, 这只是我们证明如下定理的工具.

定理 (Tejs) (1) 若r\geq0, p,q固定且存在r满足条件, 则r取极值时a,b,c中要么一数为0, 要么有两数相等.

(2) 若q\geq0, p,r固定且存在q满足条件, 则q取极值时要么a,b,c中两数相等, 要么q=0.

(3) 若r>0,p\geq0, q,r固定且存在p满足条件, 则p取极值时要么a,b,c中两数相等, 要么p=0.

证明: (1) 将\Delta看做关于r的二次函数f(r), 那么此二次函数开口向下. 如下图, 满足f(r)\geq0的r取极值时要么f(r)=0, 要么r=0. 若r=0, 则有a,b,c中一数为0. 若f(r)=0, 则有判别式为0. 而三次方程判别式为0意味着存在重实根, 即a,b,c中有两数相等.

(2) 将\Delta看做关于q的三次函数f(q), q^3的系数为负. 如下图, 满足f(q)\geq0的q取极值时要么f(q)=0, 要么q=0. 即要么q=0, 要么a,b,c中两数相等.

(3) 与(2)同理.

让我们来看一个例子以便理解此定理的用处.

例子 (Schur) a,b,c\geq0, 证明(a+b+c)^3+9abc\geq4(a+b+c)(ab+bc+ca). 当然这并不是Schur的常用形式, 只是为了演示方便事先化好了.

证明: 令p=\sum a, q=\sum ab, r=abc, 则原命题即p^3+9r-4pq\geq0. 左边为关于r的一次函数, 极值必在r的极值处取到, 于是:

(1) 不妨设a=0. 原命题化为(b+c)^3\geq4bc(b+c), 显然成立.

(2) 不妨设a=b. 原命题化为(2a+c)^3+9a^2c\geq(2a+c)(2ac+a^2), 两边同除以c^3并令\frac ac=x, 即得(2x+1)^3+9x^2\geq 4(2x+1)(2x+x^2), 而这等价于(x-1)^2\geq0, 显然成立.

于是原不等式得证, 取等条件: (1) 其中一数为0, 剩余两数相等; (2) 三数相等.

题面

若ab+bc+ca\geq0, 证明\sum\frac a{b+c}\geq\frac32.

评论

若条件为a,b,c>0, 那么这道题就是一眼Jensen, 可惜它给了个如此奇葩的条件. 不过, 这正好契合了Tejs的(2), 所以不妨用pqr法试试.

题解

令p=\sum a, q=\sum ab, r=abc, 条件为q\geq0. 原命题经过计算可化为(2p^3+9r-7pq)(pq-r)\geq0.

细心的读者可以发现, 若a,b,c\geq0, 那么此式就是Schur与均值相加.

左边为关于q的开口向下的二次函数, 最小值必在q的极值处取到, 于是:

(1) q=0, 令\frac bc=x, 即证\frac{x+1}{x^2}+x(x+1)-\frac x{(x+1)^2}\geq\frac32. 为方便计算, 左边可变为x(x+1)\left(\frac1{x^3}-\frac1{(x+1)^3}+1\right)=x(x+1)\left(\frac{3x(x+1)+1}{x^3(x+1)^3}+1\right), 再换元t=x(x+1)\in[-\frac14,+\infty)求导即可.

(2) 不妨设a=b, 即证2\frac a{a+c}+\frac c{2a}\geq\frac32, 其中2ac+a^2\geq0.

令\frac ca=x, 即证x\geq-\frac 12时\frac{2}{x+1}+\frac x2\geq\frac32. 均值即可, 取等时x=1.

综上, 原不等式成立, 取等条件a=b=c.