物竞速成[4] 微积分基础-4

本期导语

至此, 我们已学会了基本上所有物理竞赛所要用的微积分的计算方法. 然而, 我们目前仍不具备解方程的能力. 以大家儿时熟悉的线性方程组类比, 我们已学会了加减乘除, 而本期所要教授的便是高斯消元. 此外, 尽管在本期还不会涉及具体的物理公式, 我们依然会接触一些具有特殊含义的微分式的积分(如弧积分).


正文

显然, 在物理竞赛中, 题目并不会直接抛给我们一个积分(其实APhO有些题目是会这样的); 更多情况下需要我们列出一个微分方程再进行求解. 于是首先我们要学会一些最基本的解微分方程的手法.

首先是最简单的一类: 可分离变量的一阶常微分方程. 其形式为\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(y)g(x). 此类方程非常容易解决, 只要把右边的f(y)除到左边, 左边的\mathrm{d}x乘到右边, 在两边同时积分即可, 即\int_{y_0}^{y_1}\frac{\mathrm{d}y}{f(y)}=\int_{x_0}^{x_1} g(x)\mathrm{d}x, 其中\frac{1}{f(y_0)}=g(x_0)\frac{1}{f(y_1)}=g(x_1).

例如, 一质量为m的质点静止下落, 收到kv^2的阻力, 根据牛顿第二定律可以列出方程mg-kv^2=m\dot{v}.

运用上面的方法, 可以如下求解:

\frac{m\mathrm{d}v}{mg-kv^2}=\mathrm{d}t

\left.\sqrt{\frac{m}{kg}}\tanh^{-1}\sqrt{\frac{k}{mg}v}\right|_0^{v}=t|_0^t

也就是v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\sqrt{\frac{kg}{m}}t. 事实上, 这也应该是正确的, 毕竟根据条件kv^2\leq mg

接着是稍微升级过的可分离变量的二阶常微分方程, 即形如\frac{\mathrm{d}^2y}{dx^2}=f(y)g\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right).

为了书写方便, 我们将\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}简记作\dot{y}. 问题就是如何将二阶转化为一阶. 于是考察\mathrm{d}\dot{y}, 它应该等于\frac{\mathrm{d}^2y}{dx^2}\mathrm{d}x=f(y)g(\dot{y})\mathrm{d}x.

然而所给式子中并未出现x, 于是试着给\mathrm{d}x乘上\dot{y}使其变成\mathrm{d}y. 此刻原方程变为\dot{y}\mathrm{d}\dot{y}=f(y)g(\dot{y})\mathrm{d}y, 可以分离变量.

例如, 一质量为m的质点固定在劲度系数为k的水平弹簧末端, 开始时由平衡位置以v_0运动, 根据牛顿第二定律可列出m\ddot{x}=-kx.

由上面的方法可如下求解:

mv\mathrm{d}v=-kx\mathrm{d}x

mv^2=mv_0^2-kx^2

\sqrt{\frac{m}{mv_0^2-kx^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{d}t

\left.\sqrt{\frac{m}{k}}\arcsin\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{x}{v_0}\right|_0^x=t|_0^t

化简得x=\sqrt{\frac{m}{k}}v_0\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t.

事实上, 洞察力强的朋友应该可以发现, 上述解方程的一般过程正蕴含着动量定理m\ddot{x}=F与动能定理mv\mathrm{d}v=F\mathrm{d}x间的等价转换.

事实上, 上述两类微分方程已经占了高中生物理竞赛中超过90%的比例. 然而有些题目, 明面上无需解更复杂的微分方程, 但列出标答中的方程却需要不简单的思考. 正如上期的欧拉代换一样, 若是学会了下面几类方程的解法, 就可在同等思考强度的情况下占据暴力的优势.

首先是一阶线性常微分方程, 即\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)y+g(x).

先回顾高中时所学过的线性递推数列: a_{n+1}=f(n)a_n+g(n). 为了解决这样的递推式, 我们先解了\hat{a}_{n+1}=f(n)\hat{a}_n,

这有带一个自由度的无穷多解; 再求一个特解a'_{n+1}=f(n)a'_n+g(n), 最后\hat{a}_n+a'_n就能表示一切可能初值的解.

这里我们采取类似的手法, 先解\frac{\mathrm{d}\hat{y}}{\mathrm{d}x}=f(x)\hat{y}, 通过简单的分离变量可解得\hat{y}=C_1e^{\int f(x)\mathrm{d}x}, 此处为了下文方便引导思考多乘了个C_1, 事实上它并不必要, 毕竟不定积分会加一个常数, 而在指数上加的常数就会表现为乘的常数.

接着所有解应该能写作y=C_1e^{\int f(x)\mathrm{d}x}+y', 其中\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}x}=f(x)y'+g(x).

由于ye^{-\int f(x)\mathrm{d}x}=y'e^{-\int f(x)\mathrm{d}x}+C_1, 我们猜测ye^{-\int f(x)\mathrm{d}x}是一个不定积分的结果.

尝试求它的导数得: \frac{\mathrm{d}\left(ye^{-\int f(x)\mathrm{d}x}\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}e^{-\int f(x)\mathrm{d}x}-f(x)ye^{-\int f(x)\mathrm{d}x}=g(x)e^{-\int f(x)\mathrm{d}x}.

看来我们的猜想正确! 于是y=e^{\int f(x)\mathrm{d}x}\int g(x)e^{-\int f(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x.

一阶线性微分方程的直接推论便是伯努利方程, 即形如\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n的方程, 在n=0时退化为线性方程. 解决这个方程的基本思想还是将它化为线性方程.

为了做到这一点, 将两边同除以y^n, 得到\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}y^{-n}+P(x)y^{1-n}=Q(x), 注意到\frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x}=y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, 于是原方程就是关于y^{1-n}的线性方程.

例如, 解方程\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{2x}+\frac{16-x^2}{2x}y^{-1}:

根据解伯努利方程的方法, 先给两边乘上y, 得到y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2}{2x}+\frac{16-x^2}{2x}, 即\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2}{x}+\frac{16-x^2}{x}, 是关于y^2的线性方程.

回顾线性方程的解法, 先算e^{-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\frac{C}{x};

然后得到\frac{\mathrm{d}((y^2)\frac{C}{x})}{\mathrm{d}x}=\frac{16-x^2}{x}\frac{C}{x}, 注意此时要解得函数应是y^2;

所以\frac{y^2}{x}=-\frac{16}{x}-x+C, 整理得y^2+x^2+Cx+16=0, 是一个圆的方程.

最后是高阶常系数线性微分方程, 即y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}y=P(x)的解法, 经常处理振动问题的同学应该会经常遇到, 解决此类方程主要有两种方法: 特征根法与拉普拉斯变换法, 分别对应着数列递推中的特征根法与生成函数法.

先介绍比较常用, 计算简单的特征根法: 首先我们知道, 线性方程的解是各个解的线性组合, 于是同一阶的一样, 我们先解其次的方程, 即y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}y=0.

另一方面, 通过观察我们发现, 若e^{tx}是此方程的解, 则t^ne^{tx}+a_1t^{n-1}e^{tx}+\cdots+a_ne^{tx}=0, 即t为多项式t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n的根.

于是若多项式t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n无重根, 则解就是y=C_1e^{t_1x}+\cdots+C_ne^{t_nx};

t_im重根, 则它前面乘的就不是常数, 而是C_{i1}+C_{i2}x+\cdots+C_{im}x^{m-1}; 容易证明, x^{j-1}e^{t_ix}(j=1,2,\cdots,m)为微分方程的一个解.

而要解特解时, 同数列递推一样, 我们好处理的P(x)只有多项式与指数函数的线性组合, 其方法与解数列的方法一致, 详见练习.

这里给出一个例子: 解y^{(3)}+3y^{(2)}-4y=0.

先解特征方程t^3+4t^2+4=0, 解得t_1=t_2=-2, t_3=1, 于是原方程的解为y=(C_1+C_2x)e^{-2x}+C_3e^x.

然后是拉普拉斯变换法, 它比较通用, 然而计算也比较麻烦. 正如在生成函数是nx的变换, 这种变换对n的平移有良好的性质; 拉普拉斯变换是xs的变换, 而这种变换对微分有良好性质.

先给出拉普拉斯变换的公式: 正变换为F(s)=\mathcal{L}[f(x)]=\int_0^{\infty}f(x)e^{-sx}\mathrm{d}x; 逆变换为f(x)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac1{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}e^{sx}F(s)\mathrm dx, 其中\beta大于F(s)的任一奇点的实部, 不过在实际计算时通常都会直接查表套留数定理, 即f(x)=\sum Res[F(s)e^{sx}].


小结


练习


上期答案


注释

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作者:HDD
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来源:Hell Hole Studios Blog
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