Crimson-boi[6] 行列式分块

题目背景

本题来源于M.Artin Algebra 练习1-M1; 原书本章主要简要回顾了线性代数的内容, 此题即为一道行列式的题目.

题面

M为2n\times2n的方阵, 可以写成\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}的形式; 其中A, B, C, D均为n\times n的方阵,并满足A可逆, AC=CA.

证明: \det M=\det (AD-CB)

先想再看提示哦

提示

AC=CA是个让人一时不知怎么下手的条件, 不过既然题目给M分了块, 我们不妨考察矩阵的分块乘法.

愿你无需看标答

标答

首先我们给出矩阵分块乘法的公式(验证十分简单, 略).

\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
A'&B' \\
C'&D'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
AA'+BC'&AB'+BD'\\
CA'+DC'&CB'+DD'
\end{bmatrix}

其中每个块的尺寸任意, 只要能对齐即可, 无需都是方阵.

可以看出, 其实这个公式的形式与把块当做数来相乘一样.

现在回到题目. 由于要证等式右边为n\times n的方阵的行列式, 而左边为2n\times 2n; 尺寸不同的方阵不好通过矩阵乘法沟通起来, 于是不难想到将右边变为:

\begin{bmatrix}
I&*_1\\
*_2&AD-CB
\end{bmatrix}

其中I为n\times n的单位矩阵, *_1, *_2中有一个为\mathbf{0}. 此行列式从前n行或后n行展开算得的值就是要证等式的右边.

观察到M中同属一列的B, D都在乘号的右边, 对比给出的公式, 想到应给M左乘一个矩阵. 令这个矩阵为\begin{bmatrix}
X&Y\\
Z&W
\end{bmatrix}, 其中每个块都是n\times n的方阵.

我们来计算这两个矩阵相乘的结果:

\begin{bmatrix}
X&Y\\
Z&W
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
XA+YC&XB+YD\\
ZA+WC&ZB+WD
\end{bmatrix}

对比系数, 我们发现也许应该令W=A, Z=-C. 这样一来ZA+WC=AC-CA=\mathbf{0}! 看来确实应该这样令.

再考察XA+YC, 这时候A可逆的条件就排上用场了. 为使它变为I, 令X=A^{-1}, Y=\mathbf{0}.

于是我们要做的就是证明这个左乘的矩阵行列式为1. 按后n行展开, 这是显然的:

\det \begin{bmatrix}
A^{-1}&\mathbf{0}\\
C&A
\end{bmatrix}=\det A\det A^{-1}=\det(AA^{-1})=1

综上, 写下最后的过程:

\begin{aligned}
\det (AD-CB)&=\det\begin{bmatrix}
I&A^{-1}B\\
\mathbf{0}&AD-CB
\end{bmatrix}\\
&=\det
\left(
\begin{bmatrix}
A^{-1}&\mathbf{0}\\
C&A
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}
\right)\\
&=\det
\begin{bmatrix}
A^{-1}&\mathbf{0}\\
C&A
\end{bmatrix}\det\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}\\
&=\det\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}
\end{aligned}