众所周知，有 x_{n+1}=r \cdot x_n(1-x_n) 这么一个东西，叫做单峰映像。
该函数具有神必的性质：分叉，如图所示：

由于该函数过于著名，有大量有关文章，因此再此不再讨论（赶紧去读Wikipedia啊）
而本文讨论的是x_{n+1}=x_n - r sin x_n，该函数与单峰映像有许多共通之处，但更加神必

起因

这玩意儿是我研究FM合成时想到的。。。
真是神必函数

概览

我们先观察x - r sin x的形状：
当r=0时长这个样子（蓝线为y=x)：

易见得x=k \pi为其一阶不动点。
实际上，r为任何值时该结论都成立。
因此进行迭代时在某些情况下会体现出周期的性质，周期为2\pi
该性质是以后讨论的重要基础，请务必记住

第一个神必性质

对于r=1时进行迭代，也就是f(f(f(.....f(x)....)))这样的东西
这不是阶梯函数么？？

所以说如果减掉一个x的话。。
我一看 哇！ 人群中突然钻出来一个锯齿波又是你
可以写入【三角函数的错误用法】了

其实阶梯函数的出现，就意味着r=1时对x迭代会迅速趋近于其所在周期的两端。
你看周期性出现了吧

分叉性质

是时候展现真正的技术了！！！
一般来说，任何具有"凸起"形状的函数进行迭代都会有分叉现象出现。如本文第一张图。
见Wikipedia
具体来说，“凸起”指在[a,b]上:
f(a)=0,f(b)=0,f(x)>0 (x \in (a,b) )
大概这样吧。非常感性的东西。
对于我们的函数来说，在r变化时其表现具有如下阶段：
(r<0与r \ge 0是几乎对称的，懒得讨论了)
r \in [0,1) 收敛于一阶不动点处
r \in [1,\pi) 收敛到两点间反复跳跃的状态
r \in [\pi,\sim 3.44) 同上，变为4点
r \in [\sim 3.44,\sim 3.536) 迅速分叉，相邻节点距离以费根鲍姆常数递减
r \in [\sim 3.536,\sim 4.61] 在单个周期内作混沌运动
r \in (\sim 4.61, + \infty ) 能够跳出单个周期
【此处缺失分叉图/蛛网图。。先咕掉】
其中，最后一阶段是最特别的，因为我们的迭代函数具有周期性。
对于单峰映射这种无周期函数，r超过4就会发散，这里却不会。