Crimson-boi[12] 脑筋急转弯

题目背景

贴吧范畴论帅哥问的一道题, 题目还算基础, 不过确实很容易伪证, 是名副其实的脑筋急转弯.

题面

对一个拓扑空间X, 定义集合S为稠密集当且仅当\text{Cl}(S)=X, R为无处稠密集当且仅当X-\text{Cl}(R)为稠密集. 定义集合A的边界\text{Bd}(A)=\text{Cl}(A)\cap\text{Cl}(X-A). 试证明\text{Bd}(A)无处稠密当且仅当A为一个开集并上一个无处稠密集.

(其余定义请见测试逻辑[番外])

先想再看提示哦

提示

再定义一个概念---A的内部:

\text{Int}(A)=\cup\lbrace U:U\text{是开集且}U\subset A\rbrace

剩下的就是\text{Cl}, \text{Int}, \text{Bd}的排列游戏.

愿你无需看标答

标答

本期竟然有标答!!1111 但是crimson-boi思考后再发.