[indiscipline][1]琴生不等式小题一道

由于笔者太弱智,这道题想了两天无任何思路.但在上完夏建国课后,突然思如泉涌,在10分钟内完成,金与大家分享一下我的歪门邪道
题面
已知x_i>0(i=1,2,...,n),x_1+x_2+...+x_n\geq x_1x_2...x_n(n\geq2),且1\leq\alpha\leq n
证明:\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+...+x_n^\alpha}{x_1x_2...x_n}\geq n^{\frac{\alpha-1}{n-1}}
此题最恶心的点便在于x_1x_2...x_n是一个n阶的乘积,虽然在x_i\to0时保证左边不趋0,但却非常难处理
因为笔者之前处理乘积一直是取对数,而这题不好取对数,在夏建国讲完最后一道例题的换元时,我便想到了解法
题解(可能是伪证)
夏建国最后一道例题中令x_i=e^{t_i},因为此题有乘积,且右边为n^{\frac{\alpha-1}{n-1}},为方便计算类似的令x_i=n^{\frac{t_i}{n-1}}
于是条件变为n^{\frac{t_1}{n-1}}+...+n^{\frac{t_n}{n-1}}\geq n^{\frac{t_1+...+t_n}{n-1}}
题目变为n^{\frac{\alpha t_1}{n-1}}+...+n^{\frac{\alpha t_n}{n-1}}\geq n^{\frac{\alpha-1+t_1+...+t_n}{n-1}}
1\degree 取f(t)=n^t,由于n\geq2,所以是下凸函数
为方便书写,设t_1+...+t_n=A
对左边用琴生不等式得n^{\frac{\alpha A}{n(n-1)}}\geq n^{\frac{\alpha-n+A}{n-1}}
指数两边同乘(n-1)得\frac{\alpha A}{n}\geq\alpha-n+A
由于\alpha\leq n,不等式两边同乘负数要变号,于是上式变为A\leq n
到此我们证明了一半
2\degree 取f(t)=t^{\alpha},因为\alpha\geq1,所以是下凸函数
对左边用琴生不等式,结合n^{\frac{t_1}{n-1}}+...+n^{\frac{t_n}{n-1}}\geq n^{\frac{t_1+...+t_n}{n-1}}得n^{\frac{\alpha(A-(n-1))}{n-1}}\geq n^{\frac{\alpha-n+A}{n-1}}
\alpha(A-n+1)\geq\alpha-n+A
A\geq n
于是A\geq n时成立,A\leq n时也成立,所以A在R上均成立
QED