[Indiscipline][0]神必的不等式

这是一个神必的不等式技巧,睡觉时候想的,我也不知道对不对,用就完事儿了 :/
0.1 如图,这是一个严格上凸函数y=f(x)

它的上面有两点(x_0,y_0),(x_1,y_1)
先做出这两点的2条切线,再将这两点连起来
易观察得斜率由大到小分别是左边切线,中间连线,右边切线
证明亦不难:
由拉格朗日中值定理得(x_0,x_1)中必有一{\xi},使得f{\prime}({\xi})=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
由{\because}f(x)为上凸函数
{\therefore}f{\prime}(x_0)>f{\prime}({\xi})=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}>f{\prime}(x_1)
应用: 可用来证明ln(n+1)-ln(n)<\frac{1}{n}
0.2如图,这是一个减函数f(x)且f(x)恒大于0

它的积分大于图中矩形面积
由此可得不等式{\int_{a}^{b}{f(x)dx}>\sum_{i=a+1}^{b}f(i)}
同理{\int_{a}^{b}{f(x)dx}<\sum_{i=a}^{b-1}f(i)}

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作者:HDD
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来源:Hell Hole Studios Blog
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