狂暴野蛮人[1] 一阶线性非常系数微分方程

文明一思考, 野蛮就发笑

本系列着重使用暴力的手法去解决标答巧妙但很难想到的题, 内容多半为物理(因为物理本身就极其暴力), 可能会夹带少量数学;

暴力解法纯粹图一乐, 该学习的还是要学, 切勿因"一招鲜"而放弃思考!

1 (2022-2-27)

先置知识

求解一阶线性非常系数微分方程\dot{y}=f(x)y+g(x):

首先既然它是线性的, 很容易想到先求其次的通解, 即先解\dot{y}=f(x)y; 容易解出, 它的解为y=Ce^{\int f(x)\mathrm{d} x}.

于是原方程的解应为y=Ce^{\int f(x)\mathrm{d} x}+\hat{y}, 其中\hat{y}也满足\dot{\hat{y}}=f(x)\hat{y}+g(x).

当两边同乘e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}后, ye^{-\int f(x)\mathrm{d} x}=C+\hat{y}e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}; 我们也许可以猜想ye^{-\int f(x)\mathrm{d} x}是一个不定积分的结果.

尝试对它求导: \dot{(ye^{-\int f(x)\mathrm{d} x})}=\dot{\hat{y}}e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}-f(x)\hat{y}e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}=g(x)e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}, 这验证了我们的猜想!

于是ye^{-\int f(x)\mathrm{d} x}=\int g(x)e^{-\int f(x)\mathrm{d} x}\mathrm{d}x.

题面

如图, 在(-4,0)与(4,0)处分别有警亭S_1, S_2. 一小偷T在(0,3)处行窃. t=0时刻, 在(-3,7)处的警察P发现了小偷, 并立刻开始追逐小偷, 警察的速度矢量始终和他与小偷位置的连线共线. 小偷因害怕警亭内有警察, 选择如下逃跑方法: 保持自己到S_1, S_2, P三者的距离相等. 求警察的运动轨迹.

评论

见过这题的人都应该记得P在一个阿氏圆上, 但对初见来说很难想到考察|PS_1|与|PS_2|的关系, 毕竟它们的坐标表示是极其复杂的. 对数学基础不好的人来说, 这题列出微分方程后就解不下去了(高中物理竞赛确实不需要学生掌握一阶线性非常系数微分方程). 但别急! 对有着先置知识的我们来说, 解出方程简直是小菜一碟.

题解

由小偷保持自己到S_1, S_2距离相等得小偷沿y轴逃跑, 于是可设T\coloneqq (0,t); 再令P \coloneqq (x,y).

据小偷保持到P与到S_1, S_2距离相等可得x^2+(y-t)^2=4^2+t^2; 解得t=\frac{x^2+y^2-16}{2y}.

由警察速度始终朝着小偷得\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-t}{x}; 带入上面解得的t得到\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2-x^2+16}{2xy}.

分母的xy十分恼人, 想办法将其变成x^2或y^2使得右边是关于x^2,y^2的函数, 然后即可进行换元变成线性方程.

两边同乘\frac{y}{x}, 得\frac{y\mathrm{d}y}{x\mathrm{d}x}=\frac{y^2-x^2+16}{2x^2}; 为方便进行换元X\coloneqq x^2, Y\coloneqq y^2, 原式转化为\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{1}{2X}Y+\frac{8}{X}-\frac{1}{2}; 这是一阶线性非常系数微分方程, 其中f(X)=\frac{1}{2X}, g(X)=\frac{8}{X}-\frac{1}{2}.

依据先置知识中的解法, 先算e^{-\int f(X)\mathrm{d} X}=e^{-\frac{1}{2}\ln X}=X^{-\frac{1}{2}}.

那么YX^{-\frac{1}{2}}=\int(\frac{8}{X}-\frac{1}{2})X^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d} X=-X^{\frac{1}{2}}-16X^{-\frac{1}{2}}+C.

带回X=x^2, Y=y^2, 即得x^2+y^2+Cx+16=0; 带入初值(-3,7)解得C=\frac{74}{3}, 那么轨迹方程就是x^2+y^2+\frac{74}{3}+16=0, 是一个圆心在(-\frac{37}{3},0), 半径为\frac{35}{3}的圆, 这正是标答中的阿氏圆!