如题,本文适合轻度装X不甚深入,可放心食用

前置知识:
- 偏导数
- 复数(以及欧拉公式)
- 仅需常微分方程即可
- 基本的量子力学常识

让我康康

一维空间中的薛定谔方程(含时)长这个样子:

其中,为波函数,是从两个实数(,)到一个复数的映射。
约化普朗克常数,约等于
其实就是
为粒子质量
为势能函数,即空间中每一点的势能。

我不要解偏微分方程!!111

可以。如题,这里讨论不含时薛定谔方程,所以我们来简化一下
如果可分离,即:

代入原方程:

哇,变成常微分方程了,爽
两边同除,得

因为不含时,所以应该是无关的
这样的话上式左边只能是常数了
不妨设该常数为
(其实就是能量,但我不知道为什么)
于是得

上式即不含时薛定谔方程
不仅不含时,还不含,太爽了,直接把当作实函数吧(虽然我不知道为什么)

先解决

一阶线性常微分方程,直接上通解:

不妨令,这样,下文标准化时更爽
这样的话完整的解为:

好了,来解

第一种情况:自由空间

代入不含时薛定谔方程得:

当然这也是有通解的,如下:

其中
,为常数。

完整形式:

恭喜,你已经解出了薛定谔方程最简单的解(自由空间)。

更难一点

自由空间太无聊了,现在我们解无限深方阱

在方阱中,明显符合上文自由空间的解
但在阱外,明显
由于连续,必然要满足边界条件,即:

代一代

啊,没了

那么必然有:

展开,

可得:

因为
可得(常用形式):

哇!!!
能量被量子化了
我们称之为能级
而且不同于经典力学,能量不能为
时:

我们称之为零点能量

标准化

标准化,即通过常数操作使得
众所周知,可以理解为在某一时刻在某一位置测得粒子的概率密度,概率的积分自然应该为
这里通过调整达到此目的(所谓常数操作)。

我们上文已经使得了,所以不用关心这一项
只要:

即可。
那么就积一下吧

然后可以换换元,用一下二倍角公式就做出来了留作习题答案略
积出来是
会发现刚好为0,原式化为:

综上,

结论

由于最终的波函数是个,在某些位置(波节)测量根本不会测得粒子的存在。
另外,如果把波函数画出来,和固定两端的震动的弦的驻波完全相同。

即为一次谐波,即为二次谐波,以此类推。
神奇的量子力学。