[赵宇气物理]经典“气”题

考虑空气阻力的竖直上抛问题

由于这篇blog语言儒雅随和通俗易懂,所以一般通过观众也可以放心观看
阻力 f=mkv2f=mkv^2, 其中mm为物体质量,kk为常数
阻力始终与运动方向相反
重力加速度为gg
以初速度 v0v_0 将该物体上抛,试描述其运动速度与时间的关系

Answer:
首先因为阻力的方向不确定,所以要分两段处理↓↓↓

上升段

v=gkv2v'=-g-kv^2
dvdt=gkv2\frac{dv}{dt}=-g-kv^2
dvg+kv2=dt\frac{dv}{g+kv^2}=-dt
1g+kv2dv=t\int{\frac{1}{g+kv^2}}dv=-t
w=kgvw=\sqrt{\frac{k}{g}}v
1g+kv2dv\int{\frac{1}{g+kv^2}}dv
=1g11+kgv2dv=\frac{1}{g}\int{\frac{1}{1+\frac{k}{g}v^2}}dv
=1g11+wv2dv=\frac{1}{g}\int{\frac{1}{1+wv^2}}dv
=1g11+wv2dgkw=\frac{1}{g}\int{\frac{1}{1+wv^2}}d\sqrt{\frac{g}{k}}w
因为 11+x2dx=tan1x+C\int{\frac{1}{1+x^2}}dx=tan^{-1} x+C
=1ggktan1w+C=\frac{1}{g}\sqrt{\frac{g}{k}}tan^{-1}w+C
=1gktan1(kgv)+C=\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v)+C
因为当 t=0t=0v=v0v=v_0
所以 C=1gktan1(kgv0)C=-\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)
回到原式
1gktan1(kgv)+C=t\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v)+C=-t
tan1(kgv)=kg(t+C)tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v)=-\sqrt{kg}(t+C)
kgv=tan(kg(t+C))\sqrt{\frac{k}{g}}v=tan(-\sqrt{kg}(t+C))
v=gktan(kg(t+C))v=\sqrt{\frac{g}{k}}tan(-\sqrt{kg}(t+C))
CC 带入
v=gktan(tkg+tan1(kgv0))v=\sqrt{\frac{g}{k}}tan(-t\sqrt{kg}+tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))

那么我们分个段吧

找到v=0v=0tt的值
在上升段中
v=gktan(t1kg+tan1(kgv0))=0v=\sqrt{\frac{g}{k}}tan(-t_1\sqrt{kg}+tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))=0
tan(t1kg+tan1(kgv0))=0tan(-t_1\sqrt{kg}+tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))=0
明显tan0=0tan 0 = 0
t1kg+tan1(kgv0)=0-t_1\sqrt{kg}+tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)=0
tan1(kgv0)=t1kgtan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)=t_1\sqrt{kg}
t1=1gktan1(kgv0)t_1=\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)
那么这个t1t_1就是分段依据了

下降段

和上升段毫无差别
所以我不做了
同理:
v=g+kv2v'=-g+kv^2
dvdt=g+kv2\frac{dv}{dt}=-g+kv^2
1gkv2dv=t\int{\frac{1}{g-kv^2}}dv=-t
这时候奇妙的函数出现了! 11x2dx=tanh1x+C\int{\frac{1}{1-x^2}}dx=tanh^{-1} x+C
易证得
=1gktanh1(kgv)+C=\frac{1}{\sqrt{gk}}tanh^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v)+C
因为当v=0v=0t=t1t=t_1
1gktanh1(kgv)+C=t1=1gktan1(kgv0)\frac{1}{\sqrt{gk}}tanh^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v)+C=-t_1=-\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)
v=0v=0
所以
C=1gktan1(kgv0)C=-\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)
所以说这个CC和前面那个CC一毛一样,,,
由于找预期非常懒,此处再次跳过带回原式的过程
v=gktan(tkg+tanh1(kgv0))v=\sqrt{\frac{g}{k}}tan(-t\sqrt{kg}+tanh^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))
不就多了一个h吗...

OK 终极总结

v={gktan(tkg+tan1(kgv0))0t<1gktan1(kgv0)gktan(tkg+tanh1(kgv0))t1gktan1(kgv0)v = \begin{cases} \sqrt{\frac{g}{k}}tan(-t\sqrt{kg}+tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))&0\le t<\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0)\\\sqrt{\frac{g}{k}}tan(-t\sqrt{kg}+tanh^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0))&t\ge\frac{1}{\sqrt{gk}}tan^{-1}(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0) \end{cases}

Bonus!!!

Mathematica绘制的函数图象
k=0.5,g=10,v0=10k=0.5,g=10,v_0=10
Figure 1: v-t graph

Figure 1: v-t graph

Figure 2: s-t graph
Figure 2: s-t graph

版权声明:
作者:Zzzyt
链接:https://blog.hellholestudios.top/archives/125
来源:Hell Hole Studios Blog
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上升段

那么我们分个段吧

下降段

OK 终极总结

Bonus!!!

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