考虑空气阻力的竖直上抛问题
由于这篇blog语言儒雅随和通俗易懂,所以一般通过观众也可以放心观看
阻力 f=mkv2, 其中m为物体质量,k为常数
阻力始终与运动方向相反
重力加速度为g
以初速度 v0 将该物体上抛,试描述其运动速度与时间的关系
Answer:
首先因为阻力的方向不确定,所以要分两段处理↓↓↓
上升段
v′=−g−kv2
dtdv=−g−kv2
g+kv2dv=−dt
∫g+kv21dv=−t
令w=gkv
∫g+kv21dv
=g1∫1+gkv21dv
=g1∫1+wv21dv
=g1∫1+wv21dkgw
因为 ∫1+x21dx=tan−1x+C
=g1kgtan−1w+C
=gk1tan−1(gkv)+C
因为当 t=0 时 v=v0
所以 C=−gk1tan−1(gkv0)
回到原式
gk1tan−1(gkv)+C=−t
tan−1(gkv)=−kg(t+C)
gkv=tan(−kg(t+C))
v=kgtan(−kg(t+C))
把 C 带入
v=kgtan(−tkg+tan−1(gkv0))
那么我们分个段吧
找到v=0时t的值
在上升段中
v=kgtan(−t1kg+tan−1(gkv0))=0
tan(−t1kg+tan−1(gkv0))=0
明显tan0=0
−t1kg+tan−1(gkv0)=0
tan−1(gkv0)=t1kg
t1=gk1tan−1(gkv0)
那么这个t1就是分段依据了
下降段
和上升段毫无差别
所以我不做了
同理:
v′=−g+kv2
dtdv=−g+kv2
∫g−kv21dv=−t
这时候奇妙的函数出现了! ∫1−x21dx=tanh−1x+C
易证得
=gk1tanh−1(gkv)+C
因为当v=0时t=t1
gk1tanh−1(gkv)+C=−t1=−gk1tan−1(gkv0)
v=0
所以
C=−gk1tan−1(gkv0)
所以说这个C和前面那个C一毛一样,,,
由于找预期非常懒,此处再次跳过带回原式的过程
v=kgtan(−tkg+tanh−1(gkv0))
不就多了一个h吗...
OK 终极总结
v=⎩⎪⎨⎪⎧kgtan(−tkg+tan−1(gkv0))kgtan(−tkg+tanh−1(gkv0))0≤t<gk1tan−1(gkv0)t≥gk1tan−1(gkv0)
Bonus!!!
Mathematica绘制的函数图象
k=0.5,g=10,v0=10

Figure 1: v-t graph
Figure 2: s-t graph
hdd
太草了
做你(horse)
zjs
"integral(arctan)=1/(t^2+1)"
属实把爷爷逗乐了
除了这个其他没有问题 找预期真聪明111!!!
Zzzyt@zjs
nnaa遏制错误已修复力