[小题狂做]欧拉公式与暴力展开（1）

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例题（著名题）：
$\int^{\infty}{0}{\frac{{e^{cosx}}{sin(sinx)}}{x}}dx这道题乍一看很复杂，当时我也想了十万甚至九万分钟，但其实在回顾过3B1B的傅里叶变换后，才发现这是一道可以用傅里叶级数暴力的题，，，
首先介绍此题要用到的公式：e^{ix}=cosx+isinx（著名的欧拉公式）\int^{\infty}{0}{\frac{sinx}{x}}dx={\frac{\pi}{2}}（这个证明自己用莱布尼兹定理算吧，提示构造I(t)=\int^{\infty}{0}{\frac{sinx}{x}{e^{-tx}}}dx)
解题过程：
原式=\int^{\infty}{0}{\frac{Im({e^{cosx+isinx}})}{x}dx}=\int^{\infty}{0}{\frac{Im(e^{e^{ix}})}{x}dx}=\int^{\infty}{0}{\frac{\sum{n=0}^{\infty}{\frac{{e^{ix}}^{n}}{n!}}}{x}dx}=\int^{\infty}{0}{\frac{Im(\sum{n=1}^{\infty} \frac{sin(nx)}{n!})}{x}dx}=(\sum{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}})\cdot(\int^{\infty}{0}{\frac{sinx}{x}dx})=\frac{\pi(e-1)}{2}看似很复杂，其实是很睿智的暴力，，若有更好的解法，请另发blog【回应赵宇气爷爷的问题（1）】
小小练习：\int^{k_2\pi}{k_1\pi}{{e^{cosx}}{cos(sinx)}}dx \ k_1,k_2\in Z$
想解答本题的pong友，也请另发blog【小题狂做练习（1）】
制作不易，请大家多多参与解题，，，
最后，

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——孙笑川