众所周知,有 这么一个东西,叫做单峰映像
该函数具有神必的性质:分叉,如图所示:

由于该函数过于著名,有大量有关文章,因此再此不再讨论(赶紧去读Wikipedia啊)

而本文讨论的是,该函数与单峰映像有许多共通之处,但更加神必

起因

这玩意儿是我研究FM合成时想到的。。。
真是神必函数

概览

我们先观察的形状:
时长这个样子(蓝线为):

易见得为其一阶不动点。
实际上,为任何值时该结论都成立。
因此进行迭代时在某些情况下会体现出周期的性质,周期为

该性质是以后讨论的重要基础,请务必记住

第一个神必性质

对于时进行迭代,也就是这样的东西
这不是阶梯函数么??

所以说如果减掉一个的话。。
我一看 哇! 人群中突然钻出来一个锯齿波又是你
可以写入【三角函数的错误用法】

其实阶梯函数的出现,就意味着时对迭代会迅速趋近于其所在周期的两端。
你看周期性出现了吧

分叉性质

是时候展现真正的技术了!!!

一般来说,任何具有"凸起"形状的函数进行迭代都会有分叉现象出现。如本文第一张图。
Wikipedia

具体来说,“凸起”指在上:

大概这样吧。非常感性的东西。

对于我们的函数来说,在变化时其表现具有如下阶段:
(是几乎对称的,懒得讨论了)
收敛于一阶不动点处
收敛到两点间反复跳跃的状态
同上,变为4点
迅速分叉,相邻节点距离以费根鲍姆常数递减
在单个周期内作混沌运动
能够跳出单个周期

【此处缺失分叉图/蛛网图。。先咕掉】

其中,最后一阶段是最特别的,因为我们的迭代函数具有周期性。
对于单峰映射这种无周期函数,超过就会发散,这里却不会。